Circuits linéaires en régime sinusoïdal

 

1. Importance du régime sinusoïdal

La plus grande partie de l’énergie est produite sous forme de courant alternatif sinusoïdal ;

les fonctions sinusoïdales sont simples à manipuler mathématiquement et électriquement ; 

toute fonction périodique de forme quelconque peut être décomposée en une somme de signaux sinusoïdaux.

 

2. Fonction sinusoïdale

2.1 Définitions

2.2 Exemple

De cette équation ou de la courbe on peut en déduire :


Relevé graphique de qu :
Une période correspond à un tours du cercle trigonométrique.

Remarquer le sens de mesure de .

 

3. Représentation de Fresnel

La représentation de Fresnel est une représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales.

3.1 Représentation d’un vecteur

En coordonnées cartésiennes il faut la position (x; y) de son extrémité par rapport à son origine.

En coordonnées polaires, il faut sa longueur et l'angle qu'il fait avec un axe d'origine.

3.2 Représentation de Fresnel

Toute grandeur sinusoïdale (tension ou courant) sera représentée par un vecteur de longueur sa valeur efficace et d’angle sa phase à l’origine.

Considérons un dipôle Z traversé par un courant i et ayant entre ses bornes une tension u.

pour la tension :

Pour le courant :

Différence de phase :

D'où la
représentation de Fresnel
ou
représentation vectorielle

Si on prend le courant I comme origine des phases la représentation se simplifie.

pour la tension :

Pour le courant :

D'où la
représentation de Fresnel

φ (phi) représente le déphasage de i par rapport à u.

En représentation de Fresnel, φ est l’angle allant de i vers u.

Remarque : il n’est pas nécessaire de représenter la phase instantanée (ω.t+θ) puisque dans un circuit électrique, toutes les grandeurs électriques auront la même pulsation ω. La seule partie qui change pour les différents tensions et courants, ce sont la valeur efficace et la phase à l’origine θ.

Remarque : le déphasage φ dépend du dipôle et de la pulsation ω.

 

3.3 loi des mailles en représentation de Fresnel

Exemple :

Loi des mailles instantanée :

avec

et

Courbes :

 

Remarque : u à la même période que u1 et u2.

Loi des mailles vectorielle :

avec

et

Représentation vectorielle :

En aucun cas il ne faut faire la somme algébrique des valeurs efficaces U1 et U2.
U
différent de U1 + U2 (voir la construction vectorielle ci-dessus).

Remarque : il en va de même pour la loi des noeuds.

 

4. Puissances en régime sinusoïdal

 

 

5. Les dipôles passifs linéaires

 

 

 

 

Résistance R
Inductance L
Capacité C

Schéma

Equation fondamentale

Impédance Z ()

Admittance Y (S)

Relation entre les valeurs efficaces

Déphasage j (rad)

Représentation de Fresnel

Puissance active

P (W)

R absorbe P

Puissance réactive

Q (VAR)

L absorbe Q

C fournit Q

 

6. Théorème de Boucherot

6.1 Théorème

Les puissances active et réactive absorbées par un groupement de dipôles sont respectivement égales à la somme des puissances actives et réactives absorbées par chaque élément du groupement.
 

6.2 Exemple

 

 

Le théorème de Boucherot n'est pas valable pour la puissance apparente.

Remarque : ces résultats sont donnés sans démonstration

 

7. Facteur de puissance

 

7.1 Définition

7.2 Importance du cos j

Pour des raisons économiques, une installation électrique industrielle doit consommer le moins d'énergie possible.

Il faut donc réduire les pertes.
En particulier les pertes joules dépendent du courant.

Pertes joules :

• La tension U est imposée par le réseau (220V), la puissance P est imposée par la charge (installation électrique qui absorbe la puissance) :

Plus I est faible plus les pertes sont faibles. Il faut donc avoir cosφ le plus proche possible de 1.

• Ce qui revient aussi à :

Plus Q se rapproche de 0, plus cosφ se rapproche de 1. 

• C’est à dire il faut relever le facteur de puissance.

Méthode : il faut joindre à l'installation électrique un composant pouvant modifier la puissance réactive Q (et donc cosφ) sans modifier la puissance active P (question d'économie).
Ces composants sont soit le condensateur soit la bobine parfaite.

 

7.3 Relèvement du facteur de puissance

Si l’installation électrique est inductive (Q > 0), il faut diminuer Q en adjoignant des condensateurs (QC < 0) de telle sorte que Q + QC < Q.

Si l’installation électrique est capacitive (Q < 0), il faut augmenter Q en adjoignant des inductances (QL > 0) de telle sorte que Q < Q + QL .

 

7.4 Méthode

Dans la plupart des situations la charge est de type inductive (transformateurs, moteurs, chauffage, ...). Pour relever son facteur de puissance il faut donc y ajouter en parallèle un condensateur.

L’objectif est de dimensionner le condensateur en fonction du facteur de puissance recherché.

Sans le condensateur

Avec le condensateur

D’après les schémas ci-dessus, on peut faire le bilan des puissances.

Puissance active
Puissance réactive

Déphasage ou facteur de puiss.

Charge seule

On a cosφ

Condensateur seul

-π /2

Charge + condensateur

On veut cosφ’

On en déduit la capacité du condensateur de la manière suivante :

Finalement :

8. Déphasage

8.1 Définition

 

 

 

8.2 Déphasage en représentation de Fresnel

Sur le diagramme de Fresnel, φ est l’angle allant de vers .

 

8.3 Mesure du déphasage à l’oscilloscope

 

8.4 Importance de la mesure du déphasage

Le déphasage intervient dans :

- le calcul de puissance et le relèvement du facteur de puissance ;

- la conception de filtres HiFi ;

- la conception de régulations de systèmes d’asservissement.

En mesure physique le déphasage indique l’intervalle de temps entre deux signaux (ex. : mesure de vitesses, de retards, de temps de réaction, …)

 

8.5 Résumé

Soit φ, le déphasage de i par rapport à u :

Grandeurs instantanées
Représentation de Fresnel
Mesure à l'oscilloscope
φ = θui
Angle allant de vers
Mesurer Δt de u vers i
 

 

©1998, Claude Divoux